根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百五十六条的规定，在执行过程中，如果作为一方当事人的公民死亡，需要等待继承人继承权利或者承担义务的，人民应当裁定中止执行。待继承完毕后，恢复执行。如果作为被执行人的公民死亡，无遗产可供执行，又无义务承担人的，人民裁定终结执行。
此外，根据我国相关法律规定，追索赡养费、扶养费、抚育费案件的权利人死亡，应裁定执行终结，而其他情况下，作为执行申请人的权利人死亡后，执行程序应该中止，等待新的权利人的申请以继续进行，这便涉及到继承问题，涉及到对执行申请人的继承人资格认定问题。